FOV7 Science et avenir hors-série n° 98 pp. 40-46

Chargé de recherche au CNRS, au laboratoire d'opto-électronique de l'université de Toulon et du Var

Qui n'a pas été fasciné par le spectacle des vagues, se faisant et se défaisant, répétitif, parfois violent et chaotique ? L'image symbolique des vagues est la passivité, passivité de la houle qui festonne le fluide sans un souffle de vent, passivité dans la violence, la puissance, l'inertie qui se communique à la masse fluide. Une vague est une onde qui se propage à la surface de l'eau. Comme toutes les ondes, les vagues transportent de l'énergie, mais ne transportent pas de matière. La masse d'eau, mise en mouvement au passage d'une vague près du'rivage reste près du rivage. De même, la masse d'eau, mise en mouvement au large par cette même onde, reste au large. L'image du drap que l'on secoue de haut en bas en est une bonne illustration : si vous secouez fortement un drap à une extrémité, vous engendrez des ondulations qui se propagent à l'autre extrémité. Vous pouvez suivre la déformation du tissu qui se propage d'un bout l'autre du drap, mais la matière, le coton du drap, n'est pas deplace.

Mais lorsqu'une vague déferle, n'y-a-t-il pas transport d'eau ? Certes, mais il s'agit de déplacements locaux dont les dimensions sont sans commune mesure avec la distance de propagation d'une onde, qui peut atteindre plusieurs centaines de kilomètres.

Engendrées par le vent, les vagues qui se développent dans la zone où le vent souffle et qui peuvent se propager hors de cette zone, sont appelées ondes de gravité. Elles possèdent des caractéristiques spatiales et temporelles bien précises. Les paramètres d'une vague de forme sinusoïdale, forme épurée et théorique, sont la hauteur entre la crête et le creux, et la longueur d'onde, à savoir la distance qui sépare deux crêtes successives. La grandeur caractéristique du temps est la période : placez-vous en un point fixe par rapport au fond, vous voyez défiler chaque vague. Le temps qui sépare le passage de deux crêtes successives est la période de la vague.

Les vagues de gravité ont une période s'échelonnant de la seconde pour les plus courtes à trente secondes pour les plus longues. Si elles sont peu cambrées et si elles se propagent par grand fond, leur longueur d'onde ne dépend que de leur période. Plus précisément, leur longueur d'onde est proportionnelle au carré de leur période, de l'ordre du mètre pour les plus courtes, jusqu'à près de 1,5 km pour les plus longues. Elles peuvent atteindre, notamment en mer du Nord, des hauteurs très importantes : près de 30 m lorsqu'un vent de 30 m/s souffle pendant plus de six heures, avec des périodes de quinze secondes, et à des longueurs d'onde de 350 m. Ces ondes peuvent se propager sur de très longues distances en dehors de leur zone de génération. Au large de la Cornouailles, à l'extrémité S.-O. de l'Angleterre, on a observé des vagues de plus de 22 secondes, qui avaient été engendrées au sud des îles Falkland et s'étaient propagées sur plus de 12000 km, du sud au nord de l'Atlantique.

Pour mieux comprendre les propriétés des vagues de gravité, le physicien a eu le souci de simplifier son étude, de réduire ce phénomène complexe à un phénomène de laboratoire : la vague de laboratoire. Elle est " fabriquée " dans un bassin rempli d'eau à l'extrémité duquel on fait osciller d'avant en arrière une planche verticale appelée batteur. Ainsi, on engendre une ou plusieurs vagues. Si le mouvement du batteur est régulier, continu et périodique, on observe une série de vagues qui se propagent d'une extrémité à l'autre du bassin. Par ailleurs, si le mouvement du batteur n'est pas trop rapide, si son amplitude n'est pas trop grande, et si la profondeur est suffisamment importante, la surface de l'eau est lisse : elle ressemble aux longues houles que l'on observe en mer lorsqu'il n'y a aucun souffle de vent. Ici, la vague de laboratoire et la vague observée dans la nature se ressemblent aux différences d'échelle près. Celles-ci ne gênent pas trop le physicien tant que seule la gravité joue le rôle principal. Mais, dans l'océan, on remarque que le profil n'est pas sinusoïdal et que les crêtes semblent former de petites dunes d'eau séparées de longs espaces presque horizontaux. On appelle houle ces vagues qui se propagent hors de la zone de génération, et dans cette zone d'action du vent, on parle de vagues de vent ou de mer du vent.

La forme la plus simple d'une vague de laboratoire est sinusoïdale. On constate que ni la hauteur ni la longueur d'onde des vagues ne varient si elles se déplacent par grande profondeur sans rencontrer d'obstacles. Si on suit le mouvement d'une particule d'eau (volume d'eau infinitésimal) de surface, cette particule reste à la surface, elle ne plonge pas, ni ne se détache en gouttelettes. Elle reste donc en permanence à la surface comme un bouchon qu'on laisse flotter librement. De même, le nageur qui fait la planche avance au passage de la crête et recule au passage du creux ; bien sûr, il suit aussi un mouvement vertical. Les deux mouvements se combinent : la particule d'eau ou le nageur décrivent un cercle dont le diamètre est égal à la hauteur de la vague. Ils tournent autour d'une position fixe qui est sa position au repos lorsque le plan d'eau est calme. Le temps de parcours de cette circonférence est la période de la vague. On observe bien ce mouvement circulaire et périodique quand on suit une bouée de petite dimension sur une vague de faible longueur d'onde.

Comment comprendre que la déformation de la surface se propage alors que les particules d'eau tournent autour d'un point fixe ? Il s'agit d'une illusion cinématique : chaque particule d'eau reste sur le même cercle pendant tout le mouvement. La particule qui est à la crête à l'instant t 1 ne l'est plus à l'instant t 2 suivant : elle est à l'arrière de cette crête. En revanche la particule qui se trouvait en avant de la crête et à un niveau plus bas à l'instant t 1 se retrouve à la crête de la vague à l'instant t 2.

Quel est le mouvement des particules d'eau en profondeur ? Si la vague n'est pas trop cambrée (la cambrure est le rapport hauteur sur longueur d'onde qui caractérise la pente de la vague), la masse d'eau est pratiquement immobile au-delà d'une profondeur supérieure à une longueur d'onde. En revanche, dans une tranche d'eau voisine de la surface, les particules sont animées d'un mouvement circulaire mais le cercle sur lequel elles se déplacent est plus petit que le cercle-trajectoire des particules de la surface. A profondeur égale, les cercles ont le même diamètre. Plus la profondeur est grande, plus le diamètre est petit. A titre indicatif, pour une profondeur égale à une longueur d'onde, le diamètre du cercle-trajectoire vaut environ un millième de la hauteur crête à creux de la vague. A cette profondeur, un plongeur ne sent pratiquement pas le mouvement de la vague. Les particules d'eau appartenant à la même verticale évoluent dans un volume restreint à l'enveloppe de tous les cercles centrés sur cette verticale. Le fluide reste confiné localement mais la perturbation continue à se propager d'une longueur d'onde pendant une période. La vitesse de propagation, ou célérité, est égale au rapport de la longueur d'onde sur la période.

Les vagues que recherchent les surfeurs de la côte Basque peuvent avoir une période de 14 secondes ; par grand fond, au large, elles se déplacent à 80 km/h et leur longueur d'onde est de 300 m environ. Ces houles longues ont été engendrées au large des côtes du Groenland par des vents très forts – près de 50 nœuds – et ont parcouru près de 3000 km jusqu'au golfe de Gascogne. Seules les ondes longues se sont propagées jusqu'à nos côtes, les plus petites ont été amorties par dissipation visqueuse. L'expérience et le calcul montrent que la célérité d'une onde ne dépend que de la période : elle ne varie ni avec le fond, ni avec la hauteur, tant que la profondeur est grande vis-à-vis de la longueur d'onde et que la cambrure de la vague reste faible. Sa célérité est proportionnelle à sa période. Chaque vague de période différente se propage à sa vitesse propre, les vagues les plus longues se propagent plus vite que les vagues plus courtes. Elles arrivent ainsi en ordre " dispersé " : on dit que les vagues de gravité sont des ondes " dispersives ". Dans un groupe de vagues de longueurs d'onde différentes, les vagues les plus longues rattrapent et dépassent les plus courtes. Ainsi, une vague de 5 s de période a une longueur d'onde de 40 m et se déplace à une vitesse de 28 km/h. Une vague de 20 s de période a une longueur d'onde de 625 m et se déplace à 112 km/h.

Les vagues se déforment sous l'action de la nature du fond lorsqu'elles se propagent du large vers la côte. Si la vague se propage du large vers la côte, elle se cambre et est freinée par les fonds qui remontent en pente douce jusqu'à la plage. Par faible fond, la hauteur d'une vague est supérieure à celle que la même vague aurait par grand fond (sauf dabs une petite zone de fonds intermédiaires où la hauteur peut baisser de moins de 10%). Si on considère que la vague est canalisée dans un couloir de largeur constante et que son énergie est conservée au cours de sa propagation, la même quantité d'énergie franchit une section plus petite du couloir et la hauteur de la vague augmente. La vague se déforme non seulement verticalement – sa hauteur augmente – mais aussi horizontalement : sa longueur d'onde diminue lorsque la profondeur diminue. Dans ce cas, la cambrure de la vague augmente, la période, elle restant constante au large comme près des côtes. Les trajectoires des particules d'eau ne sont plus des cercles mais des ellipses. Le mouvement des particules d'eau est toujours local et périodique. A une distance fixe de la plage, les ellipses sont de plus en plus plates quand on se rapproche du fond, jusqu'à n'être plus qu'un segment horizontal au voisinage immédiat du fond. Par très faible profondeur, les particules d'eau n'ont plus qu'un mouvement horizontal : elles avancent au passage de la crête et reculent au passage du creux. L'onde est freinée par le fond lorsque la profondeur d'eau diminue.

Pourquoi la ligne de crête se déforme-t-elle à l'approche des côtes? Pourquoi avance-t-elle dans le goulet et tourne-t-elle en direction des plages situées de part et d'autre du goulet ? En fait, la partie de la vague qui se propage dans le goulet profond se déplace plus vite que l'autre partie qui est freinée par des fonds plus faibles. C'est l'effet " défilé du14 juillet ". Quand on veut qu'un rang de soldats (comprenez : la ligne de crête) tourne à droite, les soldats qui se trouvent à droite piétinent presque sur place, alors que ceux de gauche doivent avancer beaucoup plus vite. Une ligne de crête tournera à droite si sa partie droite est freinée par des petits fonds alors que sa partie gauche se propage plus vite par grands fonds. C'est le phénomène dit de réfraction : la célérité de l'onde dépend de la profondeur du milieu dans lequel elle se propage. Souvent les lignes de crête sont parallèles au cordon littoral alors qu'elles avaient au large une autre direction. C'est, là encore, la réfraction qui change la direction de propagation. De même, les lignes de crête s'épanouissent dans les baies et se concentrent autour des caps. Sur les plages landaises, on observe des lignes de crêtes déferlantes, parallèles au cordon littoral. Comment ces vagues déferlent-elles ?

Plus les fonds remontent, plus la vague se cambre. Au-delà d'une certaine limite de cambrure, la vague se brise, la crête se détache en un jet, peut se retourner sur elle-même et plonger ; la surface de l'eau devient un mélange d'eau et d'air. Par grande comme par faible profondeur, la limite théorique de la cambrure est de 14%. Par faible profondeur, on observe le déferlement dès que la hauteur de la vague dépasse 70% de la profondeur. Pour bien comprendre le déferlement, il faut distinguer le mouvement des particules d'eau du déplacement de la vague. Les particules sont animées d'une vitesse qui se décompose en une vitesse horizontale et une vitesse verticale. Tant que la vague ne déferle pas, la vitesse horizontale de la particule de la surface est toujours inférieure à la célérité de l'onde. A la crête, la vitesse de la particule et la célérité de l'onde ont une même direction horizontale dans le sens de propagation. Lorsque la vitesse de la particule fluide est supérieure à la célérité de l'onde, les particules d'eau dépassent la crête, il y a déferlement. Si la remontée des fonds est importante, l'augmentation de la cambrure de la vague peut être brusque et au-dessus de ces hauts-fonds se forment des lignes de vagues déferlantes : c'est le phénomène de la barre. Les vagues peuvent aussi déferler en pleine mer où l'action des fonds est nulle. La hauteur de la vague est amplifiée soit par un renforcement du vent, soit par une autre vague qui la rattrape ou la croise et augmente sa hauteur. Les vagues se cambrent aussi sous l'action du courant quand celui-ci se déplace en sens opposé aux vagues.

Sur les plages, on peut distinguer trois types principaux de déferlement. Le déferlement est dit à déversement lorsque la vague aborde une plage dont la pente est douce : la crête déverse en permanence un mélange d'air et d'eau (les moutons) qui glisse devant elle ; on l'appelle aussi déferlement glissant. Le profil global de la vague est symétrique. Ce type de déferlement peut aussi se produire en pleine mer. Le déferlement est dit plongeant lorsque la crête s'allonge en forme de langue et plonge : c'est la déferlante recherchée par les surfeurs expérimentés qui s'engouffrent dans son tube. Le déferlement plongeant est caractéristiques des pentes de plage plus fortes. La vague est fortement asymétrique, le front de vague devient vertical ; à l'arrière de la crête, le profil de l'eau a une pente relativement douce. La crête s'allonge en un jet qui se retourne sur lui-même, forme un tube d'eau de forme ovoïde et plonge en avant. Les vitesses des particules d'eau dépassent la célérité dans la " langue " qui se détache de la crête. Ces vagues déferlantes engendrent des efforts dix fois plus grands que les efforts développés par des vagues de même vitesse et de même taille, mais non déferlantes. Enfin, le déferlement est gonflant lorsque la pente de la plage est forte et que la vague déferlante rencontre un courant qui se déplace en sens inverse, résidu-retour de la vague précédente qui vient de déferler. La vague " trébuche " sur ce courant de retour. Le déferlement est brutal et le profil de la vague asymétrique. Ces vingt dernières années ont vu se développer les méthodes numériques du calcul de la géométrie et du champ des vitesses des vagues déferlantes. Ici, la discipline concernée est la mécanique des fluides.

Ces calculs sont effectués en posant des hypothèses simplificatrices sur la nature du fluide et de son mouvement. Le fluide est supposé parfait, c'est-à-dire que la viscosité du fluide est nulle. On ne fait donc pas de différence entre l'eau et l'huile, du point de vue de la diffusion d'un mouvement dans le fluide. Une perturbation locale se diffuse plus lentement et moins loin dans l'huile que dans l'au, l'huile étant au moins plus visqueuse que l'eau. L'image du fluide parfait est celle du " dry water ", selon une expression du physicien américain Richard Feynman, comme l'écoulement du sable fin d'un sablier. On suppose, de plus, que la surface de l'eau ne se détruit pas. Elle peut s'allonger, se déformer, mais une goutte qui se trouve à la surface reste à la surface. Il n'y a ni éclaboussures, ni bulles et donc pas de formation de moutons. Les équations qui régissent les force de gravité sont déduites de la célèbre deuxième loi de Newton. Elles s'appliquent à chaque particule fluide que l'on peut assimiler à un volume de fluide (un cube déformable par exemple) dont les arêtes ont une longueur de l'ordre du micron. On néglige dans ce cas les forces qui s'exercent entre molécules d'eau. L'air qui est au-dessus de l'eau est inerte. Au-dessus de l'eau, il n'y a donc pas un souffle d'air, et la pression dans l'air est la même que la pression dans l'eau mais seulement à la surface de l'eau.

Dès le début de XIX siècle, un Allemand, Gerstner, puis le physicien irlandais Stokes ont trouvé des solutions analytiques au problème : des formules mathématiques de la vitesse du fluide en tout point et en tout instant. En particulier, Stokes a résilu le problème de la vague sinusoïdale et aux trajectoires circulaires que nous avons décrites ci-dessus. Les recherches ont continué au XX siècle, avec l'Italien Levi-Civita (1907) et Dubreuil-Jacotin. Elles posaient davantage les problèmes mathématiques sur l'existence et l'unicité de solutions analytiques. Plus récemment, en 1976, le chercheur britannique Longuet-Higgins a proposé une méthode de résolution numérique qui permet de suivre le profil d'une vague déferlante. Ce dernier, en 1981, a aussi calculé la courbe du tube d'une vague déferlante. On constate que, même dans le cadre contraignant du fluide parfait, il est possible de rendre compte de la géométrie de ces vagues déferlantes. Les recherches actuelles s'orientent vers une étude de plus en plus fine de la vague déferlante. Des calculs montrent que de petites rides de capillarité se forment autour de la crête. La vague frissonnerait juste avant le déferlement…

Illustrations de Phil Roberts, extraites de Vagues, l'énergie magnifique ; AGEP-VILO (1989).